Die Kettenregel – Schritt für Schritt erklärt

Die Kettenregel ist eine zentrale Methode in der Differentialrechnung, die du verwendest, wenn du zusammengesetzte Funktionen ableiten möchtest. In diesem Beitrag erklär ich dir, woran du erkennst, dass du eine Kettenregel anwenden musst, wie das Ableiten mit der Kettenregel funktioniert und zum Schluss stehen dir Übungsaufgaben zur Kettenregel kostenfrei zur Verfügung.

Wann benötigst du die Kettenregel?

In einfachen Worten ausgedrückt, erkennst du eine Funktion, bei der du die Kettenregel anwenden musst daran, dass mindestens ein Term mit x in Klammern steht und eine Potenz hat, wie zum Beispiel folgende Funktion:

In der Mathematik wird es so beschrieben, dass der Inhalt der Klammer als “Innere Funktion” und die Klammer selber mit der Potenz als “äußere Funktion” bezeichnet wird: f(g(x)). In unserem Beispiel könnte man es folgendermaßen Aufteilen:

Die Kettenregel in Formel

Als Formel ausgedrückt, sieht die Kettenregel so aus:

In manchen Büchern wird auch u und v verwenden statt g(x) und f(x) gemeint ist aber das Selbe!

Die Kettenregel in Wörtern kann so erklärt werden:

1. Leite die äußere Funktion f(u) (also die äußere Klammer) ab und behandle die innere Funktion g(x) dabei wie eine Konstante. Das bedeutet, dass der Inhalt in der Klammer sich nicht ändert und genau so bleibt.
2. Multipliziere das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion g′(x). Also schau dir den Inhalt der Klammer an, bilde davon die Ableitung und multipliziere dies mit dem restlichen Teil.

Im Folgenden Video werden die einzelnen Schritte nochmal im Detail anhand eines Beispiels erklärt: YouTube Video Ableiten Kettenregel.

Schritt-für-Schritt-Beispiel:

Nehmen wir unsere Beispielfunktion von oben:

1. Schritt: Die äußere Funktion, also die Klammer ableiten. Das wäre bei uns die Klammer ( )^4 und würde abgeleitet 4( )^3 ergeben.
2. Schritt: Die Klammer wird mit dem selben Inhalt wie es zuvor war gefüllt. also 4(x^2+3)^4
3. Schritt: Das ganze muss ich jetzt noch mit der Ableitung von dem was in der Klammer steht multipliziert werden. Das wäre also *2x

Dann lautet die gesamte Ableitungsfunktion:

Im Video findest du noch mehr solcher Übungsaufgaben zum zusammen rechnen!

Wenn du weitere Kettenregel Übungsaufgaben suchst, siehst du hier ein Arbeitsblatt, um dich selber nochmal zu testen!

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